黎曼猜想获显著突破，陶哲轩：方法巧妙且意想不到

鱼羊 发自 凹非寺
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数学“猜想界皇冠”黎曼猜想，猜想刚刚取得全新突破！获显

成果来自Larry Guth（拉里·古斯）和James Maynard（詹姆斯·梅纳德）——

后者正是著突哲轩那位初出茅庐就让陶哲轩赞不绝口，因优化张益唐“孪生素数猜想”结果一战成名，破陶并于2022年斩获菲尔兹奖的巧妙且意天才数学家。

陶哲轩第一时间在社交媒体上转发了他们的猜想新论文：

古斯和梅纳德在黎曼猜想方面取得了显著突破（尽管距离完全解决这个猜想还很远）。
他们对阿尔伯特·英厄姆在1940年给出的获显黎曼ζ函数零点的界进行了首次实质性改进（更广义地说，是著突哲轩控制各种狄利克雷级数的大值）。

实质性改进零点密度估计

论文标题是破陶《New large value estimates for Dirichlet polynomials》（狄利克雷多项式的新大值估计）。

简单来说，巧妙且意古斯和梅纳德的猜想新成果，就是获显证明了狄利克雷多项式取大值的频率的新界限。

狄利克雷级数的著突哲轩大值问题在解析数论中有广泛而重要的应用。比如，破陶黎曼ζ函数就可以表示为一个狄利克雷级数，巧妙且意其非平凡零点的分布，与ζ(s)在临界线附近的大值密切相关。

根据陶哲轩的科普，令N(σ,T)表示实部至少为σ、虚部至多为T的黎曼ζ函数的零点数量。黎曼猜想告诉我们，对于任意σ>1/2，N(σ,T)都是0。

黎曼猜想目前还没办法无条件地证明，次优的选择是证明零点密度估计，也就是对N(σ,T)给出一个非平凡上界。这里σ=3/4是一个关键值。

1940年，英厄姆得到了一个界，即：

此后的八十年中，数学界一直未能对这个界限有实质性的改进，大部分工作只是对o(1)误差动动脑筋。

这就限制住了数学家们对解析数论的探索，比如，受限于英厄姆界，为了在（x,x+x^θ）形式的几乎所有短区间内得到一个好的素数定理，长期以来数学家们只能处理θ＞1/6的情况。

现在，古斯和梅纳德成功将3/5=0.6提高到了13/25=0.52。还是拿上面这个例子来说，θ的范围就可以从θ＞1/6=0.166…提高到θ＞2/15=0.133…（黎曼猜想下θ＞0）。

论文的论证主要基于傅里叶分析。陶哲轩指出，前几个步骤属于标准步骤，许多数学家包括陶哲轩自己都能想到。

但这一次古斯和梅纳德做了一些“巧妙且意想不到”的选择，包括：

• 将一个关键的相位矩阵 n^(it)=e^(itlogn) 提高到了6次方。
• 没有使用平稳相位方法来简化傅里叶积分。

他们根据狄利克雷级数的大值点位置，将问题分为加性能量E(W)小、中、大三种情况，并通过参数的变化来处理每种不同情况。

其中，狄利克雷级数中隐含的相位函数 tlogn的精确形式变得非常重要。

这是一种出人意料的方式，利用了解析数论中出现的指数和的特殊性质，而不同于人们在调和分析中可能遇到的更一般的指数和。

菲尔兹奖和数学新视野奖得主们

詹姆斯·梅纳德的名字，关心数论的朋友们想来都不陌生。

作为当今数学界最闪耀的明星之一，他一路斩获拉马努金奖、柯尔奖，并在2022年获得数学界最高奖菲尔兹奖，和2023科学突破奖下的数学新视野奖。

有意思的是，梅纳德的成名之路与华裔数学家们的名字紧密关联在一起。

26岁时，他提出了一个完全独立的、比张益唐更强大的“孪生素数猜想”结果，因此声名鹊起。

而在此过程中，他又与陶哲轩发生了一段“惜才”美谈：梅纳德发表成果之前，得知大牛陶哲轩也在同一问题上，得出了基本相同的结果。但陶哲轩在看过他的证明方法之后，认为其方法比自己的更简洁。

出于惜才之心，陶哲轩主动放弃了和梅纳德联名发表这项研究的机会，以免自己的名气掩盖年轻数学家的成就。

梅纳德的战绩还包括，和Dimitris Koukoulopoulos合作攻克80年数学难题Duffin-Schaeffer猜想，和Thomas Bloom合作改进最著名的无平方差集界限等等。

目前，梅纳德在牛津大学任教授。

拉里·古斯是MIT的克劳德·香农数学教授，同样是一位数学新视野奖得主，他还获得过塞勒姆奖、克莱研究奖等奖项。

他在几何学、调和分析、拓扑学和组合学领域造诣颇深。2021年当选为美国国家科学院院士。

有点遗憾的是，拉里·古斯已经47岁，对于菲尔兹奖而言已经“超龄”（菲尔兹奖只颁发给40岁以下数学家）。

One More Thing

古斯和梅纳德的新论文一经发表，已经引发了不少关注。

网友们的热烈讨论中，同样有不少信息值得参考。

有网友po出了ζ函数的可视化网页，可以帮助理解新论文的内容。

而如果你对梅纳德其人其研究感兴趣，参考链接网友们也已总结到位了：
https://news.ycombinator.com/item?id=40571995

论文地址：
https://arxiv.org/abs/2405.20552

参考链接：
[1]https://mathstodon.xyz/@tao/112557249982780815
[2]https://news.ycombinator.com/item?id=40571995

— 完 —